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La mwcatrigonometria, mwcqdal greco antico τρίγωνον?, trígonon ("triangolo") e μέτρον, métron ("misura"), quindi 'risoluzione del triangolo', è la parte della mwcgmatematica che studia i mwcwtriangoli a partire dai loro mwdaangoli. Il compito principale della trigonometria, così come rivela l'etimologia del nome, consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un mwdqtriangolo (mwdglati, mwdwangoli, mweamediane ecc.) partendo da altre misure già note (almeno tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di speciali mweqfunzioni.

Tale compito è indicato come mwewrisoluzione del triangolo. È anche possibile servirsi di calcoli trigonometrici nella risoluzione di problemi correlati a figure geometriche più complesse, come mwfapoligoni o figure geometriche solide, ed in molti altri rami della matematica.

Le mwfgfunzioni trigonometriche (le più importanti delle quali sono il mwfwseno e il mwgacoseno), introdotte in questo ambito, vengono anche usate in maniera indipendente dalla mwgqgeometria, comparendo anche in altri campi della matematica e delle sue applicazioni, ad esempio in connessione con la mwggfunzione esponenziale o con le mwgwoperazioni vettoriali.

• Le origini

• Funzioni trigonometriche

• Funzioni trigonometriche dirette

• Funzioni trigonometriche inverse

• Angoli notevoli

• Relazioni fondamentali della goniometria

• Prima relazione fondamentale

• Seconda relazione fondamentale

• Terza relazione fondamentale

• Quarta relazione fondamentale

• Quinta relazione fondamentale

• Formule degli angoli associati

• Formule degli angoli associati del secondo quadrante

• Formule degli angoli associati del terzo quadrante

• Formule degli angoli associati al quarto quadrante

• Formule degli angoli opposti

• Formule degli angoli complementari (la loro somma è un angolo retto)

• Formule degli angoli che differiscono di un angolo retto

• Formule goniometriche

• Formule di addizione

• Formule di sottrazione

• Formule di duplicazione

• Formule di linearità

• Formule di bisezione

• Formule parametriche

• Formule di prostaferesi

• Formule di Werner (inverse delle formule di prostaferesi)

• Formule dell'angolo aggiunto

• Risoluzione dei triangoli rettangoli

• Dimostrazione

• Applicazioni notevoli dei triangoli rettangoli

• Calcolo dell'altezza di una torre

• Calcolo dell'area di un triangolo qualsiasi

• Formule di conversione da coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa

• Teoremi trigonometrici

• Teorema della corda

• Teorema dei seni

• Teorema del coseno o di Carnot

• Risoluzione dei triangoli qualsiasi

• Risolvere un triangolo noti un lato e due angoli

• Risolvere un triangolo noti i tre lati

• Risolvere un triangolo noti due lati e l'angolo compreso

• Risolvere un triangolo noti due lati e l'angolo opposto a uno dei due lati

• Etimo dei nomi

• Note

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Per molti secoli, la trigonometria dovette i suoi progressi quasi esclusivamente all'opera di grandi mwiaastronomi e geografi. La fondazione di questa scienza si deve a mwiqIpparco di Nicea e a mwigClaudio Tolomeo, entrambi più astronomi e geografi che mwiwmatematici. Contributi notevoli furono apportati a questa scienza dagli arabi, dal francese mwjaLevi ben Gershon e, successivamente, da mwjqNiccolò Copernico e mwjgTycho Brahe, intenti a descrivere e a prevedere con sempre maggior precisione i fenomeni celesti, anche per un più esatto e comodo calcolo di mwjwlongitudini e mwkalatitudini.

Strumento indispensabile della trigonometria sono le mwkwfunzioni trigonometriche. Sono queste funzioni che associano lunghezze ad angoli, e viceversa.

Le tabelle in questa sezione mostrano le funzioni trigonometriche insieme alle loro principali proprietà; per ulteriori caratteristiche, consultare la voce relativa alla particolare funzione.

Sono dette funzioni trigonometriche mwlwdirette quelle che ad un mwmaangolo, solitamente espresso in mwmqradianti, associano una mwmglunghezza o un mwmwrapporto fra lunghezze. A causa dell'equivalenza circolare degli angoli, tutte le funzioni trigonometriche dirette sono anche mwnafunzioni periodiche con periodo mwnq π π {\displaystyle \pi } o mwng 2 π π {\displaystyle 2\pi } .

| Funzioni trigonometriche dirette | Funzioni trigonometriche dirette | Funzioni trigonometriche dirette | Funzioni trigonometriche dirette | Funzioni trigonometriche dirette | Funzioni trigonometriche dirette | Funzioni trigonometriche dirette |

|---|---|---|---|---|---|---|

| Funzione | Notazione | Dominio | Immagine | Radici | Periodo | Funzione inversa |

| seno | sen, sin | R {\displaystyle \mathbb {R} } | [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \left[-1,1\right]} | Z π {\displaystyle \mathbb {Z} \pi } | 2 π {\displaystyle 2\pi } | arcoseno |

| coseno | cos | R {\displaystyle \mathbb {R} } | [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \left[-1,1\right]} | π 2 + Z π {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi } | 2 π {\displaystyle 2\pi } | arcocoseno |

| tangente | tan, tg | R ∖ ( π 2 + Z π ) {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)} | R {\displaystyle \mathbb {R} } | Z π {\displaystyle \mathbb {Z} \pi } | π {\displaystyle \pi } | arcotangente |

| cotangente | cot, cotg, ctg | R ∖ Z π {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi } | R {\displaystyle \mathbb {R} } | π 2 + Z π {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi } | π {\displaystyle \pi } | arcocotangente |

| secante | sec | R ∖ ( π 2 + Z π ) {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)} | ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) {\displaystyle \left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)} | nessuna | 2 π {\displaystyle 2\pi } | arcosecante |

| cosecante | csc, cosec | R ∖ Z π {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi } | ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) {\displaystyle \left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)} | nessuna | 2 π {\displaystyle 2\pi } | arcocosecante |

Ad ogni funzione trigonometrica diretta è associata una mwnwfunzione inversa. Il mwoadominio di ciascuna mwoqfunzione trigonometrica inversa corrisponde, com'è prevedibile, al mwogcodominio della rispettiva funzione diretta. Poiché le funzioni dirette sono, tuttavia, mwowperiodiche, e perciò non mwpainiettive, per poterle invertire è necessario restringerne il dominio rendendole mwpqbiiettive. La scelta della mwpgrestrizione è teoricamente irrilevante e le possibilità sono infinite. La convenzione (rigida, in questo campo) vuole però che i domini vengano ristretti agli intervalli mwpw [ − − π π 2 , π π 2 ] {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} oppure mwqa [ 0 , π π ] {\displaystyle \left[0,\pi \right]} , in cui le funzioni — e dunque anche le loro inverse — siano mwqqmonotone. Anche le funzioni arcosecante ed arcocosecante vengono definite dall'inversione delle funzioni dirette ristrette ad uno di tali intervalli.

| Funzioni trigonometriche inverse | Funzioni trigonometriche inverse | Funzioni trigonometriche inverse | Funzioni trigonometriche inverse | Funzioni trigonometriche inverse | Funzioni trigonometriche inverse | Funzioni trigonometriche inverse |

|---|---|---|---|---|---|---|

| Funzione | Notazione | Dominio | Codominio | Radici | Andamento | Funzione inversa |

| arcoseno | arcsen {\displaystyle \operatorname {arcsen} } , arcsin {\displaystyle \arcsin } , asin {\displaystyle \operatorname {asin} } , sen − 1 {\displaystyle \operatorname {sen} ^{-1}} [ 1 ] | [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \left[-1,1\right]} | [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} | 0 | ↗ {\displaystyle \nearrow } | seno |

| arcocoseno | arccos {\displaystyle \arccos } , acos {\displaystyle \operatorname {acos} } , cos − 1 {\displaystyle \cos ^{-1}} | [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \left[-1,1\right]} | [ 0 , π ] {\displaystyle \left[0,\pi \right]} | 1 | ↘ {\displaystyle \searrow } | coseno |

| arcotangente | arctan {\displaystyle \arctan } , arctg {\displaystyle \operatorname {arctg} } , atan {\displaystyle \operatorname {atan} } , tan − 1 {\displaystyle \tan ^{-1}} | R {\displaystyle \mathbb {R} } | ( − π 2 , π 2 ) {\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)} | 0 | ↗ {\displaystyle \nearrow } | tangente |

| arcocotangente | arccot, arccotg, arcctg, acot, cot −1 | R {\displaystyle \mathbb {R} } | ( 0 , π ) {\displaystyle \left(0,\pi \right)} | + ∞ {\displaystyle +\infty } | ↘ {\displaystyle \searrow } | cotangente |

| arcosecante | arcsec, asec, sec −1 | ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) {\displaystyle \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right)} | [ 0 , π ] {\displaystyle \left[0,\pi \right]} | 1 | crescente, con una discontinuità in [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \left[-1,1\right]} | secante |

| arcocosecante | arccsc, arccosec, acsc, csc −1 | ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) {\displaystyle \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right)} | [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} | ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } | decrescente, con una discontinuità in [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \left[-1,1\right]} | cosecante |

Nella tabella che segue sono indicati i valori delle funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente degli angoli notevoli compresi tra 0° e 90°:

| Angolo α in gradi | Angolo α in radianti | sin(α) | cos(α) | tan(α) | cot(α) |

|---|---|---|---|---|---|

| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 | ∄ {\displaystyle \nexists } |

| 15° | π 12 {\displaystyle {\frac {\pi }{12}}} | 6 − 2 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}} | 6 + 2 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}} | 2 − 3 {\displaystyle 2-{\sqrt {3}}} | 2 + 3 {\displaystyle 2+{\sqrt {3}}} |

| 18° | π 10 {\displaystyle {\frac {\pi }{10}}} | 5 − 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}} | 10 + 2 5 4 {\displaystyle {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}} | 5 − 2 5 5 {\displaystyle {\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{5}}}} | 5 + 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}} |

| 22° 30' | π 8 {\displaystyle {\frac {\pi }{8}}} | 2 − 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}} | 2 + 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}} | 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {2}}-1} | 2 + 1 {\displaystyle {\sqrt {2}}+1} |

| 30° | π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} | 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} | 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} | 3 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} | 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} |

| 36° | π 5 {\displaystyle {\frac {\pi }{5}}} | 10 − 2 5 4 {\displaystyle {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}} | 5 + 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}} | 5 − 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}} | 5 + 2 5 5 {\displaystyle {\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}}} |

| 45° | π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} | 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} | 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} | 1 | 1 |

| 54° | 3 10 π {\displaystyle {\frac {3}{10}}\pi } | 5 + 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}} | 10 − 2 5 4 {\displaystyle {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}} | 5 + 2 5 5 {\displaystyle {\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}}} | 5 − 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}} |

| 60° | π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} | 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} | 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} | 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} | 3 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} |

| 67° 30' | 3 8 π {\displaystyle {\frac {3}{8}}\pi } | 2 + 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}} | 2 − 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}} | 2 + 1 {\displaystyle {\sqrt {2}}+1} | 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {2}}-1} |

| 72° | 2 5 π {\displaystyle {\frac {2}{5}}\pi } | 10 + 2 5 4 {\displaystyle {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}} | 5 − 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}} | 5 + 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}} | 5 − 2 5 5 {\displaystyle {\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{5}}}} |

| 75° | 5 12 π {\displaystyle {\frac {5}{12}}\pi } | 6 + 2 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}} | 6 − 2 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}} | 2 + 3 {\displaystyle 2+{\sqrt {3}}} | 2 − 3 {\displaystyle 2-{\sqrt {3}}} |

| 90° | π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} | 1 | 0 | ∄ {\displaystyle \nexists } | 0 |

mwack cos 2 ⁡ ⁡ α α + sin 2 ⁡ ⁡ α α = 1. {\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1.}

Da questa si ricavano

mwac0 cos ⁡ ⁡ α α = ± ± 1 − − sin 2 ⁡ ⁡ α α , {\displaystyle \cos \alpha =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }},}

mwada sin ⁡ ⁡ α α = ± ± 1 − − cos 2 ⁡ ⁡ α α . {\displaystyle \sin \alpha =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}.}

Ricordare di valutare la posizione di mwadi α α {\displaystyle \alpha } per la scelta opportuna dei segni.

mwady tan ⁡ ⁡ α α = sin ⁡ ⁡ α α cos ⁡ ⁡ α α , {\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }},}

che vale solo per mwadg α α ≠ ≠ π π 2 + k π π {\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi } con mwadk k ∈ ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } .

Dalla definizione di mwads tan ⁡ ⁡ α α {\displaystyle \tan \alpha } e dalla prima relazione fondamentale si ricava che

mwad4 cos 2 ⁡ ⁡ α α = 1 1 + tan 2 ⁡ ⁡ α α , {\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1}{1+\tan ^{2}\alpha }},}

che vale solo per mwaea α α ≠ ≠ π π 2 + k π π {\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi } con mwaee k ∈ ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } .

Da questa si ricava

mwaeu cos ⁡ ⁡ α α = ± ± 1 1 + tan 2 ⁡ ⁡ α α . {\displaystyle \cos \alpha =\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}}.}

Ricordare di valutare la posizione di mwaec α α {\displaystyle \alpha } per la scelta opportuna dei segni.

mwaes cot ⁡ ⁡ α α = cos ⁡ ⁡ α α sin ⁡ ⁡ α α , {\displaystyle \cot \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }},}

che vale solo per mwae0 α α ≠ ≠ k π π {\displaystyle \alpha \neq k\pi } con mwae4 k ∈ ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } .

mwafi sec ⁡ ⁡ α α = 1 cos ⁡ ⁡ α α , {\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }},}

che vale solo per mwafq α α ≠ ≠ π π 2 + k π π {\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi } con mwafu k ∈ ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } .

mwafk csc ⁡ ⁡ α α = 1 sin ⁡ ⁡ α α , {\displaystyle \csc \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }},}

che vale solo per mwafs α α ≠ ≠ k π π {\displaystyle \alpha \neq k\pi } con mwafw k ∈ ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } .

Nella mwaf8circonferenza goniometrica chiamiamo angoli associati gli angoli mwaga α α {\displaystyle \alpha } , mwage π π − − α α {\displaystyle \pi -\alpha } , mwagi π π + α α {\displaystyle \pi +\alpha } e mwagm 2 π π − − α α {\displaystyle 2\pi -\alpha } . Tali angoli hanno in mwagqvalore assoluto stesso seno e stesso coseno.

mwagw cos ⁡ ⁡ ( π π − − α α ) = − − cos ⁡ ⁡ α α ; {\displaystyle \cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha ;}

mwag4 sin ⁡ ⁡ ( π π − − α α ) = sin ⁡ ⁡ α α ; {\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha ;}

mwaha tan ⁡ ⁡ ( π π − − α α ) = − − tan ⁡ ⁡ α α . {\displaystyle \tan(\pi -\alpha )=-\tan \alpha .}

mwahq cos ⁡ ⁡ ( π π + α α ) = − − cos ⁡ ⁡ α α ; {\displaystyle \cos(\pi +\alpha )=-\cos \alpha ;}

mwahy sin ⁡ ⁡ ( π π + α α ) = − − sin ⁡ ⁡ α α ; {\displaystyle \sin(\pi +\alpha )=-\sin \alpha ;}

mwahg tan ⁡ ⁡ ( π π + α α ) = tan ⁡ ⁡ α α . {\displaystyle \tan(\pi +\alpha )=\tan \alpha .}

mwahw cos ⁡ ⁡ ( 2 π π − − α α ) = cos ⁡ ⁡ α α ; {\displaystyle \cos(2\pi -\alpha )=\cos \alpha ;}

mwah4 sin ⁡ ⁡ ( 2 π π − − α α ) = − − sin ⁡ ⁡ α α ; {\displaystyle \sin(2\pi -\alpha )=-\sin \alpha ;}

mwaia tan ⁡ ⁡ ( 2 π π − − α α ) = − − tan ⁡ ⁡ α α . {\displaystyle \tan(2\pi -\alpha )=-\tan \alpha .}

mwaiq cos ⁡ ⁡ ( − − α α ) = cos ⁡ ⁡ α α ; {\displaystyle \cos(-\alpha )=\cos \alpha ;}

mwaiy sin ⁡ ⁡ ( − − α α ) = − − sin ⁡ ⁡ α α ; {\displaystyle \sin(-\alpha )=-\sin \alpha ;}

mwaig tan ⁡ ⁡ ( − − α α ) = − − tan ⁡ ⁡ α α . {\displaystyle \tan(-\alpha )=-\tan \alpha .}

Si dice che mwaio cos ⁡ ⁡ α α {\displaystyle \cos \alpha } è una funzione pari, mentre mwais sin ⁡ ⁡ α α {\displaystyle \sin \alpha } e mwaiw tan ⁡ ⁡ α α {\displaystyle \tan \alpha } sono dispari.

mwaja cos ⁡ ⁡ ( π π 2 − − α α ) = sin ⁡ ⁡ α α ; {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha ;}

mwaji sin ⁡ ⁡ ( π π 2 − − α α ) = cos ⁡ ⁡ α α ; {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha ;}

mwajq tan ⁡ ⁡ ( π π 2 − − α α ) = cot ⁡ ⁡ α α . {\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cot \alpha .}

mwajg cos ⁡ ⁡ ( π π 2 + α α ) = − − sin ⁡ ⁡ α α ; {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sin \alpha ;}

mwajo sin ⁡ ⁡ ( π π 2 + α α ) = cos ⁡ ⁡ α α ; {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\cos \alpha ;}

mwajw tan ⁡ ⁡ ( π π 2 + α α ) = − − cot ⁡ ⁡ α α . {\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cot \alpha .}

In trigonometria, le mwaj8formule di addizione e sottrazione permettono di trasformare le mwakafunzioni trigonometriche della mwakesomma o mwakidifferenza di due mwakmangoli in un'mwakqespressione composta da funzioni trigonometriche dei due angoli.

• mwakg sin ⁡ ⁡ ( α α + β β ) = sin ⁡ ⁡ α α cos ⁡ ⁡ β β + cos ⁡ ⁡ α α sin ⁡ ⁡ β β ; {\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta ;}

• mwako cos ⁡ ⁡ ( α α + β β ) = cos ⁡ ⁡ α α cos ⁡ ⁡ β β − − sin ⁡ ⁡ α α sin ⁡ ⁡ β β ; {\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta ;}

• mwakw tan ⁡ ⁡ ( α α + β β ) = tan ⁡ ⁡ α α + tan ⁡ ⁡ β β 1 − − tan ⁡ ⁡ α α tan ⁡ ⁡ β β ; {\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }};}

• mwak4 cot ⁡ ⁡ ( α α + β β ) = cot ⁡ ⁡ α α cot ⁡ ⁡ β β − − 1 cot ⁡ ⁡ α α + cot ⁡ ⁡ β β . {\displaystyle \cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}.}

La formula della tangente vale per mwala α α , β β , α α + β β ≠ ≠ π π 2 + k π π {\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi } con mwale k ∈ ∈ Z . {\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}

La formula della cotangente vale per mwalm α α , β β , α α + β β ≠ ≠ k π π {\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta \neq k\pi } con mwalq k ∈ ∈ Z . {\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}

• mwalg sin ⁡ ⁡ ( α α − − β β ) = sin ⁡ ⁡ α α cos ⁡ ⁡ β β − − cos ⁡ ⁡ α α sin ⁡ ⁡ β β ; {\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \,\sin \beta ;}

• mwalo cos ⁡ ⁡ ( α α − − β β ) = cos ⁡ ⁡ α α cos ⁡ ⁡ β β + sin ⁡ ⁡ α α sin ⁡ ⁡ β β ; {\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta ;}

• mwalw tan ⁡ ⁡ ( α α − − β β ) = tan ⁡ ⁡ α α − − tan ⁡ ⁡ β β 1 + tan ⁡ ⁡ α α tan ⁡ ⁡ β β ; {\displaystyle \tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }};}

• mwal4 cot ⁡ ⁡ ( α α − − β β ) = cot ⁡ ⁡ α α cot ⁡ ⁡ β β + 1 cot ⁡ ⁡ β β − − cot ⁡ ⁡ α α . {\displaystyle \cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \alpha }}.}

La formula della tangente vale per mwama α α , β β , α α − − β β ≠ ≠ π π 2 + k π π {\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha -\beta \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi } con mwame k ∈ ∈ Z . {\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}

La formula della cotangente vale per mwamm α α , β β , α α − − β β ≠ ≠ k π π {\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha -\beta \neq k\pi } con mwamq k ∈ ∈ Z . {\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}

• mwamg sin ⁡ ⁡ ( 2 α α ) = 2 sin ⁡ ⁡ α α cos ⁡ ⁡ α α ; {\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha ;}

• mwamo cos ⁡ ⁡ ( 2 α α ) = cos 2 ⁡ ⁡ α α − − sin 2 ⁡ ⁡ α α = 1 − − 2 sin 2 ⁡ ⁡ α α = 2 cos 2 ⁡ ⁡ α α − − 1 ; {\displaystyle \cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1;}

• mwamw tan ⁡ ⁡ ( 2 α α ) = 2 tan ⁡ ⁡ α α 1 − − tan 2 ⁡ ⁡ α α . {\displaystyle \tan(2\alpha )={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}.}

L'ultima formula vale per mwam4 α α ≠ ≠ π π 2 + k π π {\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi } e mwam8 α α ≠ ≠ ± ± π π 4 + k π π {\displaystyle \alpha \neq \pm {\frac {\pi }{4}}+k\pi } con mwana k ∈ ∈ Z . {\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}

• mwanq cos 2 ⁡ ⁡ α α = 1 + cos ⁡ ⁡ ( 2 α α ) 2 ; {\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos(2\alpha )}{2}};}

• mwany sin 2 ⁡ ⁡ α α = 1 − − cos ⁡ ⁡ ( 2 α α ) 2 ; {\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos(2\alpha )}{2}};}

• mwang tan 2 ⁡ ⁡ α α = sin 2 ⁡ ⁡ α α cos 2 ⁡ ⁡ α α = 1 − − cos ⁡ ⁡ ( 2 α α ) 1 + cos ⁡ ⁡ ( 2 α α ) . {\displaystyle \tan ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1-\cos(2\alpha )}{1+\cos(2\alpha )}}.}

L'ultima formula vale per mwano α α ≠ ≠ π π 2 + k π π {\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi } con mwans k ∈ ∈ Z . {\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}

Attenzione: è necessario valutare in quale quadrante cade mwan4 α α 2 {\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}} per poter scegliere i segni opportuni delle seguenti formule:

• mwaoe cos ⁡ ⁡ ( α α 2 ) = ± ± 1 + cos ⁡ ⁡ α α 2 ; {\displaystyle \cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}};}

• mwaom sin ⁡ ⁡ ( α α 2 ) = ± ± 1 − − cos ⁡ ⁡ α α 2 ; {\displaystyle \sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}};}

• mwaou tan ⁡ ⁡ ( α α 2 ) = ± ± 1 − − cos ⁡ ⁡ α α 1 + cos ⁡ ⁡ α α . {\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}.}

L'ultima formula vale per mwaoc α α ≠ ≠ π π + 2 k π π {\displaystyle \alpha \neq \pi +2k\pi } .

• mwaos cos ⁡ ⁡ α α = 1 − − t 2 1 + t 2 , {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},}

• mwao0 sin ⁡ ⁡ α α = 2 t 1 + t 2 , {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {2t}{1+t^{2}}},}

• mwao8 tan ⁡ ⁡ α α = 2 t 1 − − t 2 , {\displaystyle \tan \alpha ={\frac {2t}{1-t^{2}}},}

dove mwape t = tan ⁡ ⁡ ( α α 2 ) {\displaystyle t=\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)} con mwapi α α ≠ ≠ π π + 2 k π π {\displaystyle \alpha \neq \pi +2k\pi } .

• mwapc sin ⁡ ⁡ p + sin ⁡ ⁡ q = 2 sin ⁡ ⁡ ( p + q 2 ) cos ⁡ ⁡ ( p − − q 2 ) ; {\displaystyle \sin p+\sin q=2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right);}

• mwapk sin ⁡ ⁡ p − − sin ⁡ ⁡ q = 2 cos ⁡ ⁡ ( p + q 2 ) sin ⁡ ⁡ ( p − − q 2 ) ; {\displaystyle \sin p-\sin q=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\sin \left({\frac {p-q}{2}}\right);}

• mwaps cos ⁡ ⁡ p + cos ⁡ ⁡ q = 2 cos ⁡ ⁡ ( p + q 2 ) cos ⁡ ⁡ ( p − − q 2 ) ; {\displaystyle \cos p+\cos q=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right);}

• mwap0 cos ⁡ ⁡ p − − cos ⁡ ⁡ q = − − 2 sin ⁡ ⁡ ( p + q 2 ) sin ⁡ ⁡ ( p − − q 2 ) . {\displaystyle \cos p-\cos q=-2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\sin \left({\frac {p-q}{2}}\right).}

Le formule di prostaferesi trasformano somme di funzioni goniometriche in prodotti.

• mwaqi sin ⁡ ⁡ α α cos ⁡ ⁡ β β = 1 2 [ sin ⁡ ⁡ ( α α + β β ) + sin ⁡ ⁡ ( α α − − β β ) ] ; {\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\right];}

• mwaqq cos ⁡ ⁡ α α cos ⁡ ⁡ β β = 1 2 [ cos ⁡ ⁡ ( α α + β β ) + cos ⁡ ⁡ ( α α − − β β ) ] ; {\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right];}

• mwaqy sin ⁡ ⁡ α α sin ⁡ ⁡ β β = − − 1 2 [ cos ⁡ ⁡ ( α α + β β ) − − cos ⁡ ⁡ ( α α − − β β ) ] . {\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =-{\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\right].}

Le formule di Werner trasformano prodotti di funzioni goniometriche in somme.

• mwaqs a sin ⁡ ⁡ x + b cos ⁡ ⁡ x = a 2 + b 2 sin ⁡ ⁡ ( x + ϕ ϕ ) , {\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\phi ),}

dove l'angolo mwaq0 ϕ ϕ {\displaystyle \phi } è un qualunque angolo che soddisfa

mwara { cos ⁡ ⁡ ϕ ϕ = a a 2 + b 2 sin ⁡ ⁡ ϕ ϕ = b a 2 + b 2 . {\displaystyle {\begin{cases}\cos \phi ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\\sin \phi ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.\end{cases}}}

Se si sceglie l'angolo mwari ϕ ϕ {\displaystyle \phi } nell'intervallo mwarm ( − − π π , π π ] {\displaystyle (-\pi ,\pi ]} , si può esplicitare nel seguente modo:

mwary ϕ ϕ = { arctan ⁡ ⁡ ( b a ) , se a > 0 , arctan ⁡ ⁡ ( b a ) + π π , se a < 0 e b ≥ ≥ 0 , arctan ⁡ ⁡ ( b a ) − − π π , se a < 0 e b < 0 , π π 2 , se a = 0 e b > 0 , − − π π 2 , se a = 0 e b < 0. {\displaystyle \phi ={\begin{cases}\arctan({\frac {b}{a}}),&{\text{se }}a>0,\\\arctan({\frac {b}{a}})+\pi ,&{\text{se }}a<0{\text{ e }}b\geq 0,\\\arctan({\frac {b}{a}})-\pi ,&{\text{se }}a<0{\text{ e }}b<0,\\{\frac {\pi }{2}},&{\text{se }}a=0{\text{ e }}b>0,\\-{\frac {\pi }{2}},&{\text{se }}a=0{\text{ e }}b<0.\end{cases}}}

L'angolo mwarg ϕ ϕ {\displaystyle \phi } non è definito se mwark a = b = 0 , {\displaystyle a=b=0,} in tal caso l'uguaglianza iniziale si riduce all'identità mwaro 0 = 0. {\displaystyle 0=0.}

Nel gergo matematico risolvere un triangolo rettangolo significa calcolare le misure dei lati e degli angoli del triangolo. Per convenzione esiste una nomenclatura nei triangoli rettangoli che si può vedere in figura. Si ricorda che:

• mwasm α α = 90 o {\displaystyle \alpha =90^{o}} e mwasq β β + γ γ = 90 o ; {\displaystyle \beta +\gamma =90^{o};}

• un angolo è adiacente ad un cateto se il cateto risulta essere uno dei lati dell'angolo in questione;

• un angolo è opposto ad un cateto se il cateto non è uno dei lati dell'angolo in questione.

Ad esempio mwasg β β {\displaystyle \beta } è opposto al cateto mwask b {\displaystyle b} e adiacente al cateto mwaso c {\displaystyle c} .

Sotto queste convenzioni in un triangolo rettangolo valgono i seguenti teoremi.

mwas0Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa con il seno dell'angolo opposto al cateto.

mwas8Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa con il coseno dell'angolo acuto adiacente al cateto.

mwateTeorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto con la tangente dell'angolo opposto al cateto da calcolare.

mwatmTeorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto con la cotangente dell'angolo acuto adiacente al cateto da calcolare.

Tali teoremi si traducono nelle seguenti formule per la risoluzione dei triangoli rettangoli.

mwatc a = c sin ⁡ ⁡ γ γ ⇒ ⇒ c = a sin ⁡ ⁡ γ γ . {\displaystyle a={\frac {c}{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=a\sin \gamma .}

mwatk a = b cos ⁡ ⁡ γ γ ⇒ ⇒ b = a cos ⁡ ⁡ γ γ . {\displaystyle a={\frac {b}{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=a\cos \gamma .}

mwats c b = sin ⁡ ⁡ γ γ cos ⁡ ⁡ γ γ ⇒ ⇒ c = b tan ⁡ ⁡ γ γ . {\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {\sin \gamma }{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=b\tan \gamma .}

mwat0 b c = cos ⁡ ⁡ γ γ sin ⁡ ⁡ γ γ ⇒ ⇒ b = c cot ⁡ ⁡ γ γ . {\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {\cos \gamma }{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cot \gamma .}

mwat8 a = b sin ⁡ ⁡ β β ⇒ ⇒ b = a sin ⁡ ⁡ β β . {\displaystyle a={\frac {b}{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=a\sin \beta .}

mwaue a = c cos ⁡ ⁡ β β ⇒ ⇒ c = a cos ⁡ ⁡ β β . {\displaystyle a={\frac {c}{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=a\cos \beta .}

mwaum b c = sin ⁡ ⁡ β β cos ⁡ ⁡ β β ⇒ ⇒ b = c tan ⁡ ⁡ β β . {\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=c\tan \beta .}

mwauu c b = cos ⁡ ⁡ β β sin ⁡ ⁡ β β ⇒ ⇒ c = b cot ⁡ ⁡ β β . {\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cot \beta .}

Si consideri un triangolo rettangolo mwaug A B C {\displaystyle ABC} con mwaukangolo retto di vertice mwauo A {\displaystyle A} . Detto mwaus C A {\displaystyle CA} l'asse mwauw x {\displaystyle x} , sul vertice mwau0 C {\displaystyle C} si costruisce una circonferenza di raggio mwau4 C P = 1 {\displaystyle CP=1} . Le coordinate del punto mwau8 P {\displaystyle P} rappresentano il mwava cos ⁡ ⁡ γ γ {\displaystyle \cos \gamma } e il mwave sen ⁡ ⁡ γ γ {\displaystyle \operatorname {sen} \gamma } , e poiché mwavi γ γ {\displaystyle \gamma } è acuto indicano anche rispettivamente le lunghezze dei cateti mwavm C H {\displaystyle CH} e mwavq P H {\displaystyle PH} .

Dalla figura si può osservare che i due triangoli rettangoli mwavo A B C {\displaystyle ABC} e mwavs H P C {\displaystyle HPC} sono simili in quanto hanno due angoli congruenti: mwavw γ γ {\displaystyle \gamma } in comune e gli angoli retti di vertice mwav0 A {\displaystyle A} e mwav4 H {\displaystyle H} . Quindi è possibile costruire la proporzione fra i lati omologhi dei due triangoli simili (lati opposti agli angoli congruenti):

mwawe B C ¯ ¯ P C ¯ ¯ = B A ¯ ¯ P H ¯ ¯ = C A ¯ ¯ C H ¯ ¯ . {\displaystyle {\frac {\overline {BC}}{\overline {PC}}}={\frac {\overline {BA}}{\overline {PH}}}={\frac {\overline {CA}}{\overline {CH}}}.}

Sostituendo le misure dei lati si ottiene

mwawu a 1 = c sin ⁡ ⁡ γ γ = b cos ⁡ ⁡ γ γ {\displaystyle {\frac {a}{1}}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {b}{\cos \gamma }}}

e quindi

mwawk a = c sin ⁡ ⁡ γ γ ⇒ ⇒ c = a sin ⁡ ⁡ γ γ ; {\displaystyle a={\frac {c}{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=a\sin \gamma ;}

mwaws a = b cos ⁡ ⁡ γ γ ⇒ ⇒ b = a cos ⁡ ⁡ γ γ . {\displaystyle a={\frac {b}{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=a\cos \gamma .}

Da queste due si ricava anche

mwaw8 c b = sin ⁡ ⁡ γ γ cos ⁡ ⁡ γ γ ⇒ ⇒ c = b tan ⁡ ⁡ γ γ ; {\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {\sin \gamma }{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=b\tan \gamma ;}

mwaxe b c = cos ⁡ ⁡ γ γ sin ⁡ ⁡ γ γ ⇒ ⇒ b = c cot ⁡ ⁡ γ γ . {\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {\cos \gamma }{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cot \gamma .}

Questo ragionamento può essere chiaramente esteso anche al terzo angolo mwaxm β β {\displaystyle \beta } in modo da ottenere formule analoghe

mwaxy a = b sin ⁡ ⁡ β β ⇒ ⇒ b = a sin ⁡ ⁡ β β ; {\displaystyle a={\frac {b}{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=a\sin \beta ;}

mwaxg a = c cos ⁡ ⁡ β β ⇒ ⇒ c = a cos ⁡ ⁡ β β ; {\displaystyle a={\frac {c}{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=a\cos \beta ;}

mwaxo b c = sin ⁡ ⁡ β β cos ⁡ ⁡ β β ⇒ ⇒ b = c tan ⁡ ⁡ β β ; {\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=c\tan \beta ;}

mwaxw c b = cos ⁡ ⁡ β β sin ⁡ ⁡ β β ⇒ ⇒ c = b cot ⁡ ⁡ β β . {\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cot \beta .}

Si consideri il seguente problema: calcolare l'altezza di una torre mwaya A B {\displaystyle AB} , potendo stare solo alla base (piano orizzontale) della stessa. Si distinguono due casi

In questo caso basta misurare il cateto mwayg A C {\displaystyle AC} (mwayk b {\displaystyle b} ), e dal punto mwayo C {\displaystyle C} misurare l'angolo acuto mways A C B {\displaystyle ACB} (mwayw γ γ {\displaystyle \gamma } ) sotto cui si vede la sommità della torre mway0 A B {\displaystyle AB} (mway4 c {\displaystyle c} ). Applicando opportunamente le formule si ottiene

mwaze h torre = c = b tan ⁡ ⁡ γ γ . {\displaystyle h_{\text{torre}}=c=b\tan \gamma .}

In questo caso mwazk A C {\displaystyle AC} (mwazo b 1 = x {\displaystyle b_{1}=x} ) è incognita (in quanto il piede mwazs A {\displaystyle A} non è raggiungibile). Si fa dunque una misura orizzontale mwazw C D {\displaystyle CD} (mwaz0 d {\displaystyle d} ) (quindi il cateto mwaz4 A D {\displaystyle AD} è mwaz8 b 2 = x + d {\displaystyle b_{2}=x+d} ). Dal punto mwa0a C {\displaystyle C} si misura l'angolo acuto mwa0e A C B {\displaystyle ACB} (mwa0i γ γ 1 {\displaystyle \gamma _{1}} ) e da mwa0m D {\displaystyle D} si misura l'angolo acuto mwa0q A D B {\displaystyle ADB} (mwa0u γ γ 2 {\displaystyle \gamma _{2}} ) sotto cui si vede la sommità della torre mwa0y A B {\displaystyle AB} (mwa0c c {\displaystyle c} ). Applicando opportunamente le formule si ottiene

mwa0o h torre = c = b 1 tan ⁡ ⁡ γ γ 1 = x tan ⁡ ⁡ γ γ 1 ; {\displaystyle h_{\text{torre}}=c=b_{1}\tan \gamma _{1}=x\tan \gamma _{1};}

mwa0w h torre = c = b 2 tan ⁡ ⁡ γ γ 2 = ( x + d ) tan ⁡ ⁡ γ γ 2 . {\displaystyle h_{\text{torre}}=c=b_{2}\tan \gamma _{2}=(x+d)\tan \gamma _{2}.}

Confrontando le due altezze si ottiene una equazione nell'incognita mwa04 x {\displaystyle x}

mwa1e x tan ⁡ ⁡ γ γ 1 = ( x + d ) tan ⁡ ⁡ γ γ 2 . {\displaystyle x\tan \gamma _{1}=(x+d)\tan \gamma _{2}.}

Questa equazione è facilmente risolvibile noti mwa1m d {\displaystyle d} , mwa1q γ γ 1 {\displaystyle \gamma _{1}} e mwa1u γ γ 2 . {\displaystyle \gamma _{2}.}

Trovato mwa1c x {\displaystyle x} si ha mwa1g b 1 {\displaystyle b_{1}} e quindi si può calcolare

mwa1s h torre = c = b 1 tan ⁡ ⁡ γ γ 1 . {\displaystyle h_{\text{torre}}=c=b_{1}\tan \gamma _{1}.}

Per calcolare l'area del triangolo mwa2q A B C {\displaystyle ABC} , di base mwa2u C B = a {\displaystyle CB=a} , serve l'altezza mwa2y A H {\displaystyle AH} . Nel triangolo rettangolo mwa2c C H A {\displaystyle CHA} , di ipotenusa mwa2g A C = b {\displaystyle AC=b} , l'altezza mwa2k A H = h {\displaystyle AH=h} può essere vista come il cateto che si oppone all'angolo mwa2o γ γ {\displaystyle \gamma } . Utilizzando in modo opportuno le formule dei triangoli rettangoli si ottiene

mwa20 A H = h = b sin ⁡ ⁡ γ γ {\displaystyle AH=h=b\sin \gamma }

e quindi

mwa3e Area = 1 2 a h = 1 2 a b sin ⁡ ⁡ γ γ . {\displaystyle {\text{Area}}={\frac {1}{2}}ah={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma .}

Questa formula vale anche se mwa3m γ γ {\displaystyle \gamma } è ottuso.

Fissato su un piano un punto origine mwa3o O ( 0 ; 0 ) {\displaystyle O(0;0)} e una semiretta mwa3s O r {\displaystyle Or} , dato un punto mwa3w P {\displaystyle P} del piano esso è univocamente individuato da una coppia di numeri reali mwa30 ( ρ ρ , θ θ ) {\displaystyle (\rho ,\theta )} con la condizione mwa34 ρ ρ > 0 {\displaystyle \rho >0} e mwa38 0 ≤ ≤ θ θ < 360 o {\displaystyle 0\leq \theta <360^{o}} . La coppia di mwa4anumeri reali rappresenta le mwa4ecoordinate polari di mwa4i P {\displaystyle P} . Geometricamente mwa4m ρ ρ {\displaystyle \rho } rappresenta la distanza mwa4q O P {\displaystyle OP} , mentre mwa4u θ θ {\displaystyle \theta } rappresenta l'angolo mwa4y H O P {\displaystyle HOP} misurato in senso antiorario con primo lato mwa4c O H {\displaystyle OH} .

È possibile trovare le relazioni esistenti tra le coordinate cartesiane mwa4k ( x ; y ) {\displaystyle (x;y)} e le coordinate polari mwa4o ( ρ ρ ; θ θ ) {\displaystyle (\rho ;\theta )} del punto mwa4s P {\displaystyle P} . Le seguenti considerazioni fatte per un punto mwa4w P {\displaystyle P} sul primo quadrante valgono anche per gli altri quadranti.

Utilizzando le formule dei triangoli rettangoli si trovano le formule per la trasformazione in coordinate cartesiane

mwa5a { x = ρ ρ cos ⁡ ⁡ θ θ y = ρ ρ sin ⁡ ⁡ θ θ . {\displaystyle {\begin{cases}x=\rho \cos \theta \\y=\rho \sin \theta .\end{cases}}}

Elevando al quadrato e sommando si ottiene mwa5i x 2 + y 2 = ρ ρ 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}} e quindi si possono ricavare le formule per la trasformazione in coordinate polari

mwa5u { cos ⁡ ⁡ θ θ = x ρ ρ sin ⁡ ⁡ θ θ = y ρ ρ ⇒ ⇒ { cos ⁡ ⁡ θ θ = x x 2 + y 2 sin ⁡ ⁡ θ θ = y x 2 + y 2 {\displaystyle {\begin{cases}\cos \theta ={\frac {x}{\rho }}\\\sin \theta ={\frac {y}{\rho }}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}\cos \theta ={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\\sin \theta ={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\end{cases}}}

mwa5c { ρ ρ = x 2 + y 2 tan ⁡ ⁡ θ θ = y / x . {\displaystyle {\begin{cases}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\tan \theta =y/x.\end{cases}}}

Fare attenzione che la tangente goniometrica non esiste per mwa5k x = 0 {\displaystyle x=0} ed è periodica di 180° e dunque bisogna valutare preventivamente la posizione di mwa5o P {\displaystyle P} per calcolare correttamente mwa5s θ θ {\displaystyle \theta }

mwa54 θ θ = { arctan ⁡ ⁡ ( y / x ) se x > 0 arctan ⁡ ⁡ ( y / x ) + π π se x < 0. {\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan(y/x)&{\text{se }}x>0\\\arctan(y/x)+\pi &{\text{se }}x<0.\end{cases}}}

I teoremi trigonometrici permettono la risoluzione di problemi di varia natura legata alla figura di un triangolo qualsiasi, esprimendo rapporti tra i lati e gli angoli di questo.

Data una circonferenza e una corda mwa6g A B {\displaystyle AB} , il rapporto tra tale corda e il seno di un qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste su di essa è uguale al diametro della circonferenza:

mwa6s A B ¯ ¯ sin ⁡ ⁡ C ^ ^ = 2 r . {\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\sin {\widehat {C}}}}=2r.}

Considerato un triangolo qualsiasi di lati mwa68 a {\displaystyle a} , mwa7a b {\displaystyle b} e mwa7e c {\displaystyle c} , il rapporto tra i lati e i seni dei rispettivi angoli opposti è costante ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta:

mwa7q a sin ⁡ ⁡ α α = b sin ⁡ ⁡ β β = c sin ⁡ ⁡ γ γ = 2 r . {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r.}

Il teorema del coseno (chiamato anche teorema di mwa7wCarnot) afferma che in un qualsiasi triangolo, il quadrato di un lato è uguale alla differenza tra la somma dei quadrati degli altri due lati e il doppio prodotto di tali lati per il coseno dell'angolo compreso tra essi.

mwa78 B A ¯ ¯ 2 = A C ¯ ¯ 2 + B C ¯ ¯ 2 − − 2 A C ¯ ¯ ⋅ ⋅ B C ¯ ¯ cos ⁡ ⁡ γ γ . {\displaystyle {\overline {BA}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}-2{\overline {AC}}\cdot {\overline {BC}}\cos \gamma .}

Ossia, indicando con mwa8e a , b , c {\displaystyle a,b,c} la lunghezza dei lati e mwa8i α α , β β , γ γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } gli angoli ad essi opposti, si ottiene

mwa8u a 2 = b 2 + c 2 − − 2 b c cos ⁡ ⁡ α α ; {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha ;}

mwa8c b 2 = a 2 + c 2 − − 2 a c cos ⁡ ⁡ β β ; {\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta ;}

mwa8k c 2 = a 2 + b 2 − − 2 a b cos ⁡ ⁡ γ γ . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .}

Può essere considerato una generalizzazione del mwa8steorema di Pitagora.

Nel gergo matematico risolvere un triangolo significa calcolare le misure dei lati e degli angoli del triangolo. Per risolvere un triangolo qualsiasi devono essere noti tre elementi dei quali almeno uno deve essere un lato. Si possono presentare quattro casi:

1. sono noti un lato e due angoli;

2. sono noti tre lati;

3. sono noti due lati e l'angolo compreso;

4. sono noti due lati e uno dei due angoli opposti ai lati dati.

La nomenclatura dei lati e degli angoli segue la convenzione in figura.

Sia mwa9o a {\displaystyle a} il lato noto e mwa9s ( α α , β β ) {\displaystyle (\alpha ,\beta )} i due angoli noti. Il problema ha sempre una sola soluzione se sono rispettate le seguenti condizioni

mwa94 α α + β β < 180 o , {\displaystyle \alpha +\beta <180^{o},}

in caso contrario il problema non ha soluzione.

1. Calcolare l'angolo mancante mwa-m γ γ = 180 o − − ( α α + β β ) . {\displaystyle \gamma =180^{o}-(\alpha +\beta ).}

2. Calcolare il lato incognito mwa-u b {\displaystyle b} utilizzando il teorema dei seni: mwa-y a sin ⁡ ⁡ α α = b sin ⁡ ⁡ β β . {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.}

3. Calcolare il lato incognito mwa-g c {\displaystyle c} utilizzando il teorema dei seni: mwa-k a sin ⁡ ⁡ α α = c sin ⁡ ⁡ γ γ . {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.}

Il problema ha sempre una sola soluzione se sono rispettate le disuguaglianze triangolari, in caso contrario il problema non ha soluzione.

1. Calcolare l'angolo mwa-8 α α {\displaystyle \alpha } mediante il teorema del coseno: mwa-a cos ⁡ ⁡ α α = b 2 + c 2 − − a 2 2 b c . {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.}

2. Calcolare l'angolo mwa-i β β {\displaystyle \beta } mediante il teorema del coseno: mwa-m cos ⁡ ⁡ β β = a 2 + c 2 − − b 2 2 a c . {\displaystyle \cos \beta ={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.}

3. Calcolare l'angolo mancante mwa-u γ γ = 180 o − − ( α α + β β ) . {\displaystyle \gamma =180^{o}-(\alpha +\beta ).}

Il problema ha sempre una sola soluzione.

Siano mwa-o a {\displaystyle a} e mwa-s b {\displaystyle b} i lati noti.

1. Calcolare il lato mwa-4 c {\displaystyle c} (opposto all'angolo mwa-8 γ γ {\displaystyle \gamma } ) mediante il teorema del coseno: mwbaa c = a 2 + b 2 − − 2 a b cos ⁡ ⁡ γ γ . {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}.}

2. Calcolare l'angolo mwbai α α {\displaystyle \alpha } (opposto al lato mwbam a {\displaystyle a} ) mediante il teorema del coseno: mwbaq cos ⁡ ⁡ α α = b 2 + c 2 − − a 2 2 b c . {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.}

3. Calcolare l'angolo mancante mwbay β β = 180 o − − ( γ γ + α α ) . {\displaystyle \beta =180^{o}-(\gamma +\alpha ).}

Il problema può avere nessuna soluzione, una soluzione o due soluzioni. Siano mwbak a {\displaystyle a} e mwbao b {\displaystyle b} i lati noti sia mwbas α α {\displaystyle \alpha } l'angolo noto.

1. Si calcola l'angolo incognito mwba4 β β {\displaystyle \beta } con il teorema dei seni mwba8 b sin ⁡ ⁡ β β = a sin ⁡ ⁡ α α . {\displaystyle {\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {a}{\sin \alpha }}.}

2. Se mwbbe α α {\displaystyle \alpha } è ottuso si otterrà un solo angolo mwbbi β β 1 {\displaystyle \beta _{1}} acuto, altrimenti si trova anche mwbbm β β 2 = 180 o − − β β 1 . {\displaystyle \beta _{2}=180^{o}-\beta _{1}.}

3. Si calcola mwbbu γ γ 1 = 180 o − − ( β β 1 + α α ) {\displaystyle \gamma _{1}=180^{o}-(\beta _{1}+\alpha )} ed eventualmente mwbby γ γ 2 = 180 o − − ( β β 2 + α α ) . {\displaystyle \gamma _{2}=180^{o}-(\beta _{2}+\alpha ).}

4. Si calcola mwbbg c 1 {\displaystyle c_{1}} e eventualmente mwbbk c 2 {\displaystyle c_{2}} utilizzando il teorema dei seni mwbbo a sin ⁡ ⁡ α α = c sin ⁡ ⁡ γ γ . {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.}

Come per il resto delle mwbb0lingue europee, l'mwbb4italiano eredita i nomi delle funzioni trigonometriche dalle corrispondenti voci mwbb8latine. Il termine mwbcaseno proviene dalla traduzione latina mwbcesinus della parola mwbciaraba mwbcmjaib (letteralmente mwbcqbaia, tradotto in latino mwbcusinus a causa di una lettura equivoca: dal momento che l'arabo non scrive le vocali, la sequenza mwbcyjb, che stava per mwbccjiba ricalcando una parola sanscrita, è stata interpretata erroneamente come mwbcgbaia, in luogo del corretto mwbckcorda) usata per indicare la metà della corda; in questo senso, il seno denota la corda piegata su sé stessa. La parola mwbcotangente viene da latino mwbcstangens, letteralmente «che tocca», in riferimento alle proprietà geometriche del segmento utilizzato per la definizione grafica di questa funzione. Analogamente si spiega l'etimologia della mwbcwsecante, in latino mwbc0secans, «che taglia». Le parole mwbc4coseno, mwbc8cotangente e mwbdacosecante derivano dalla contrazione delle rispettive voci latine mwbdecomplementi sinus, mwbdicomplementi tangens, mwbdmcomplementi secans, vale a dire «seno dell'angolo complementare», «tangente dell'angolo complementare», «secante dell'angolo complementare».

cite-note-11. Le notazioni con esponente negativo usate per le funzioni mwbdomwbdsmwbdw mwbd0 mwbd4 mwbd8 mwbea mwbeesin mwbei mwbem− − mwbeq1 mwbeu{\displaystyle \sin ^{-1}} , mwbecmwbegmwbek mwbeo mwbes mwbew mwbe0 mwbe4cos mwbe8 mwbfa− − mwbfe1 mwbfi{\displaystyle \cos ^{-1}} , etc. (usate spesso nelle mwbfqcalcolatrici scientifiche) non fanno riferimento alle potenze, ma indicano solo il fatto che esse sono le funzioni inverse delle rispettive funzioni trigonometriche. Pertanto, a meno che non sia esplicitamente indicato, risulta: mwbfumwbfymwbfcmwbfgmwbfk mwbfo mwbfs mwbfw mwbf0 mwbf4sin mwbf8 mwbga− − mwbge1 mwbgi⁡ ⁡ mwbgmx mwbgq≠ ≠ mwbgu mwbgy mwbgc1 mwbgg mwbgksin mwbgo⁡ ⁡ mwbgsx mwbgw. mwbg0{\displaystyle \sin ^{-1}x\neq {\frac {1}{\sin x}}.}

• mwbhiFormule di prostaferesi

• mwbhqFormule di Werner

• mwbhyFunzione trigonometrica

• mwbhgAngolo

• mwbhoSeno (matematica)

• mwbhwCoseno

• mwbh4Tangente (matematica)

• mwbiaSecante (trigonometria)

• mwbiiCosecante

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• mwbiyEquazione trigonometrica

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• citereftreccani-ittrigonometria, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefenciclopedia-della-matematicatrigonometria, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

• citerefbritannica-com(EN) Eli Maor e Raymond Walter Barnard, trigonometry, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

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• mwbjk(IT) mwbjoMatematica: applet, videolezioni e simulazioni, su appuntidimatematica.org. URL consultato il 17 marzo 2025. - alcune brevi videolezioni sulla goniometria e sulla trigonometria, utili per un veloce ripasso in vista di un compito.